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第五百二十九章 嘉当活动标架论几何学（第1页）

嘉当开始寻找怎样才可以更准确的研究流形？

他开始想象一个流形，这个流形在局部当然是平整的，但这个局部的点开始移动的时候，这个平整的面就会有角度的变化。

当然在光滑流形上的标架可以理解为从一点到一点的变化。

这种变化，除了位置以外，还有切线的变化。

在曲率的切线速率变化几何特征。

居然可以找到恒变量。

活动标架法的原始想法很老的。

要试图了解空间里一个曲线的几何

你要标示曲线的每一个点。

首先标示曲线的速度向量。

就是曲线的切线方向。

然后标示曲线的加速度。

就是曲线转的方向。

然后第三个防线方向。

显示曲线的扭曲方向。

装备了这套东西后，也就是

给曲线上每一点这三个方向后

就可以框出曲线的走向。

曲线上每一个点都有不同的标架

这就是活动标架法的由来。

这个想法在曲面上也很管用。

它的美妙之处在于。

当你顺着曲线走的时候。

你可以专注于标示架转动的方式。

这样可以算出曲面上。

所有有用的信息。

这个关于三维空间里。

曲线和曲面的简单概念。

可以被推广到。

高维空间的高维对象。

从活动标架法出发。

写下微分形式。

把微分算子α作用到微分形式上去。

将它们用别的形式表达出来。

再把α作用到这些微分形式上去。

最后得到了一些几何不变量。

这简直就是奇迹。

在局部上一点的标架的存在性是显然的，在全局上的存在性要求拓扑条件的满足。

嘉当发现在圆圈或圆环上的活动标架就存在，在二维球面上就不存在了。

存在一个全局活动标架的流形称为可平行化的。

嘉当还发现将纬度和经度的单位方向作为地球表面上的活动标架在北极和南极会有问题。

埃里·嘉当的活动标架法基于对于所研究的特定问题取一个相应的活动标架。

例如，给定一个空间中的曲线，曲线的前三个导数通常可以给出其上一点一个标架（参看定量的形式参看挠率-它假设挠率非0）。

更一般地，活动标架的抽象含义是将切丛作为一个向量丛时，其伴随丛主丛GLn的一个截面。

一般的嘉当方法利用了这点，并在嘉当联络中讨论。

对于球面只有S1、S3、S7和是可平行化的。

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