卡拉比-丘空间的热潮,始于1984年,当时的物理学家,开始了解到这些复空间或会用于新兴的理论上。
热情持续了几年,便开始减退了。
可是到了上世纪80年代末期,格林恩(BrianGreene)、普列瑟(RonenPlesser)、坎德拉斯等人开始研究镜对称(mirrorsymmetry)时,卡拉比-丘空间又重新成为人们的焦点。
镜对称乃是两个具有不同拓朴的卡拉比-丘空间,看起来没有什么共通点,但却拥有相同的物理定律。
具有这样关系的两个卡拉比-丘空间称为“镜伴”
(mirrorpartner)。
1995年,史聪闵格、札斯洛(EricZaslow)和我提出一个猜想,对卡拉比-丘空间的子结构提供洞识,为镜对称给出解释。
根据这个SYZ猜想的理论,六维卡拉比-丘空间本质上可以分成两个三维空间,其中之一是三维环面。
如果模仿把半径r变成1r的操作,把这些三维环面“翻转”
,并与另一个三维空间结合起来,就会得到原卡拉比-丘空间的镜伴。
这个猜想提供了镜对称的几何图象,尽管目前只在一些特殊情况下被证明成立。
数学家把物理学家发现的镜关系搬过来,成为数学上强而有力的工具。
在某个卡拉比-丘空间上要解决的难题,可以放到它的镜伴上去考虑,这种做法往往奏效。
例如有一个求解曲线数目的问题,悬空了差不多一个世纪,就是这样破解的。
它使枚举几何学(enumerativegeometry)这一数学分支,重新焕发了青春。
这些进展令数学家对物理学家及弦论刮目相看。
镜对称是对偶性的一个重要例子。
它就像一面窗,让我们窥见卡拉比-丘空间的隐秘。
利用它,我们确定了在五次三维形(一种卡拉比-丘空间)上给定阶数的有理曲线的总数,这是一个非常困难的问题。
物理学家发现两个卡拉比-丘空间,虽然拓朴很不同,却可能对应到同一物理理论。
这个性质称为镜对称,彼此对称的双方称为镜伴。
这一幕还说明了镜对称自有其深厚的数学基础。
人们花了好几年,到了1990年代中后期,镜对称的严格数学证明,包括坎德拉斯等人的公式,才由吉文塔(AlexanderGivental)以及连文豪-刘克锋-丘成桐各自独立完成。
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