稍后,米尔诺(Milnor)发现了七维怪球。
七维怪球是一个处处光滑的七维流形,虽然它可以连续地变形成正常的(圆球状)的七维球面,但却不能光滑地变形成正常的七维球面。
因此怪球和正常球面是同胚,但不是微分同胚。
本章一开始提到的数学家米尔诺,他在1962年获得菲尔兹奖,主要就是因为证明了怪球确实存在。
在此之前,人们根本不相信会有这种空间,所以才会被称为“怪异的”
。
这是Milnor怪球的微分结构。
S^4上的S^3-丛是一个纤维丛,底流形是S^4,标准纤维是S^3.这个纤维丛同胚于S^7,但是不微分同胚于S^7.
这是同一个度局部欧氏空间上可以存在不同微分结构的着名例子,或者说是拓扑结构不足以决定(如果容许的话)微分结构的例子。
如果一个拓扑空间是一个局部欧氏空间的话,就可以用局部坐标来分片刻画它,但是坐标变换只能是连续的,不一定可微。
如果在所有这问些坐标系中筛选一部分出来,使之能够覆盖整个空间,而相答互之间的坐标变换又是光滑(或某个k阶连续)的,这就相当于在该空间上指定了一个微分结构(要求微分结构极大,即,不可再向其中添加新的坐标系使之满足相容性,这只是为了让这个极大集去代表这个微分结构而已)。
Milnor怪球的例子表明,在拓扑结构所容内许的局部坐标系中挑容选微分结构的时候,有可能选出不同的微分结构,所以,微分结构是拓扑结构之上的一个新的结构。
它不是球极投影的纤维丛。
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